“设而不解”有奇效

黄

最近学校刚在东南角建了一个长方形的水池，好多同学都在讨论这个水池的周长。

这位工人说，这个水池砌的墙横截面积是32平方米，墙厚是2分米(如图灰色部分)。他们没有测量周长。

旁边有同学想向体育老师借卷尺...

阿木老师笑着说:“你所要做的就是把长度和宽度设为一个未知数。你不必要求它。这是一套方案，有时比套方法还快。”

“不懂？”学生没听说过这种方法，都在耐心等待老师介绍。

阿木老师说:“我们先把长度定为A，宽度定为B。去掉左下角的面积，剩下的面积是3200-4=3196(平方分米)。可以求出2a+2b=3196(平方分米)。它在数值上正好等于周长...解决问题比自讨苦吃更容易！”

示例1

从高到低排列9名学生，前5名平均分比前4名低1分，后4名平均分比后5名低2分。那么，前4名的平均分比后4名多多少分呢？

观察

开始

这个题目的已知条件太少，很难用常规方法求解。我们首先想到的是用定数法。

例行的

思考

让我们试着通过设置数字来解决它。假设前五名的平均分是20分，前四名的平均分是21分。从20×5-21×4=16(点)，第五位一定是16点。由此，我们可以得到:

21, 21, 21, 21, 16, (), (), (), ().

设后四者的平均分为x，则后五者的平均分为(16+4x)÷5=x+2，可得x=6。因此，假设得分如下:

1, 21, 21, 21, 16, 6, 6, 6, 6.

也就是说，假设前四名平均分为21分，对应的后四名平均分为6分，21-6=15(分)。

答:前4名的平均分比后4名高15分。

另一途径

方法

接下来，我们进行第一次尝试——通过假设而不是求解来解决问题。

设前4名的平均分是X，那么前5名的平均分是(x-1)。设最后四个的平均分为Y，那么最后五个的平均分为(y+2)。

根据前5名和后4名学生的总成绩之和，等于前4名和后5名学生的总成绩之和，我们可以列出方程:

5(x-1)+4y=4x+5(y+2)

5x-5+4y=4x+5y+10

5x+4y=4x+5y+15

利用方程的性质，解为:x-y=15。

没必要单独求未知量的具体值。这个公式的值就是我们要求的结果。

示例2

给定阴影部分的面积为6平方厘米，求这个圆的面积(π取3.14)。

观察

开始

阴影是两个直角三角形的面积差，它们的直角边正好是两个圆的半径。

例行的

思考

我们可以用定数法，假设小圆的半径是2cm，那么小三角形的面积是2x2 ÷ 2 = 2 (cm2)，那么大三角形的面积是2+6=8 (cm2)，大三角形的直角边长是4cm。

所以大圆半径为4cm，小圆半径为2cm。

圆的面积是大圆的面积减去小圆的面积，3.14×4×4-3.14×2×2=37.68。

(平方厘米)。

答:圆环的面积是37.68平方厘米。

另一途径

方法

通过假设而不解决问题来解决问题会是什么样子？我们一起往下看。

设大圆半径为R，小圆半径为R，则:

大三角形的面积= R×R÷2= 1

2R2

小三角形的面积= r×r÷2= 1

2 r2

根据阴影面积=1

2R2-1

R2 = 6(平方厘米)，所以R2- r2=12(平方厘米)。

圆环的面积=π(R2- r2)=3.14×12=37.68 (cm2)

答:圆环的面积是37.68平方厘米。