用蒙特卡洛算法求圆的面积

圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是数学中最基本的常数之一。π也等于圆的面积与其半径的平方之比，是精确计算圆的周长、面积、体积等几何形状的关键值。它是一个无理数，即无限无循环小数。日常生活中，通常用3.14来表示圆周率进行近似计算。在这里我想问大家几个问题:圆周率是谁发明的？以前的人是怎么导出圆周率的？今天我们就用Python中的一种概率算法“蒙特卡洛法”来计算圆周率。

蒙特卡洛是一个位于欧洲摩纳哥的赌场。这个地名也象征着概率。蒙特卡罗方法是著名数学家冯·诺依曼在20世纪40年代参与美国曼哈顿计划时提出的。这种方法的原理是通过大量的随机样本来了解一个系统，然后得到要计算的值。

方法蒙特卡罗计算圆周率时，正方形与圆相切，圆与正方形的面积比为π/4。在这个正方形中，随机产生N个点(这些点服从均匀分布)，计算它们与中心点的距离是否大于圆的半径，以确定它们是否落在圆内。数圆内的点数，n的比值乘以4，就是π的值。理论上，n越大，计算的π值越精确。

首先介绍了随机库和时间库，并调用了random和perf_counter。然后，编写一个计时函数start来计算获得pi所需的时间。然后循环编写模拟点代码，让计算机每次随机产生0和1之间的两个数(假设圆的半径为1)，看以这两个实数为横坐标和纵坐标的点是否在单位圆内。所以我们其实只算1/4圆，但不影响结果。通过生成一系列随机点，统计出单位圆内的点数和总点数。获得的随机点越多，结果越接近pi。计算结果后，pi和计算的时间将作为结果输出。

通过比较该点到圆心的距离，可以判断该点是否在圆内。利用计算机的运算速度，可以快速多次统计出散点的结果。即使我们计算1000万次，也只需要8.7秒(具体计算时间与计算机运行速度有关)。从计算结果来看，即使有这么大的数据量，用概率算法计算π的精度仍然不够高。