五次方程：群与域，群论怎么解次方程

我还是不明白他是怎么想出来的。

——理查德·费曼里的一对数学精灵。

一八二六年秋天，二十四岁的挪威青年尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）来到巴黎，此时的他已经取得非凡的数学成就，包括证明五次和五次以上方程没有一般根式解，正在等待法兰西科学院大咖们的赏识和肯定。在离阿贝尔住处几公里远的路易学校，十五岁的法国少年埃瓦里斯特·伽罗瓦（?variste Galois）却遇到麻烦，在进入该校的第四个年头，他的修辞课大大退步（可能没过及格线），他留级了。

伽罗瓦（1811-1832）素描像1826年秋天，24岁的挪威青年尼尔斯·亨利克·阿贝尔来到巴黎。此时，他在数学方面已经取得了令人瞩目的成就，包括证明了五次及五次以上的方程没有一般的根解，他正在等待法国科学院的大咖们的认可和肯定。在离阿贝尔住处几公里远的路易学校，十五岁的法国男孩埃瓦里斯特·伽罗瓦(？然而，Stegalois)陷入了困境。入学第四年，他的修辞课大退步(可能没过及格线)，被降级了。加尔瓦素描(1811-1832)

这段时间伽罗瓦的一个同学为他画了一幅素描，就是我们今天看到的伽罗瓦雕像。在任何一部数学史中，我们都可以看到，这个15岁的迷途少年是和那些睿智老练的数学家(如笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、欧拉等)并列的。).有趣的是，也是在巴黎，阿贝尔遇到了一位画家同事，他画了阿贝尔唯一的一幅肖像。阿贝尔和伽罗瓦都有一头卷发，清澈略带忧郁的眼睛。他们真的是一对神奇的精灵。

因为留级，伽罗瓦遇到了见习数学老师维纳。维纳向同学们推荐了勒让德的《几何原理》，比起赫赫有名的欧几里得《几何原本》，这本一七九四年版的数学著作更容易读懂。据说如饥似渴的伽罗瓦只用两天就读完此书，而它原本是足足两年课程的教材。值得一提的是，德意志数学天才黎曼恰好在那年出生，他在中学期间也只用六天时间读完了勒让德的另一部巨著《数论》。

伽罗瓦就读的巴黎路易学校因为重复，伽罗瓦认识了见习数学老师维纳。维纳向同学推荐勒让德的几何原理。与著名的欧几里得的《几何原本》相比，这本1794年版的数学著作更容易阅读。据说饥渴的伽罗瓦只用了两天就看完了这本书，它原本是整整两年课程的教材。值得一提的是，德国数学天才黎曼就出生在那一年，他在中学只花了6天时间就阅读了勒让德的另一部巨著《数论》。乔治就读的巴黎路易学校。

伽罗瓦被数学迷住了，他贪婪地阅读原始著作和文献，就像如今的小朋友痴迷于哈利·波特系列故事，伽罗瓦完全沉浸于不久以前逝去的数学家拉格朗日的著作。面对此情此景，修辞老师无奈地说，“在伽罗瓦的作业里除了奇怪的幻想和粗心大意以外一无是处”，“他已经沉迷于数学的激动中……对其他事物视若无睹……如果他的父母只允许他研究数学，我认为那对他来说是最好的”。

阿贝尔（1802-1829）伽罗瓦对数学很着迷。他贪婪地阅读原著和文献，就像现在的孩子痴迷于哈利波特的故事一样。伽罗瓦完全沉浸在不久前去世的数学家拉格朗日的著作中。面对这种情况，修辞老师无奈地说:“伽罗瓦的作业里除了奇怪的幻想和粗心大意，什么也没有。”“他已经沉迷于数学带来的兴奋...而对其他事情视而不见...如果他的父母只允许他学习数学，我想这对他是最好的”。亚伯(1802-1829年)

两年后，伽罗瓦参加了巴黎理工学院的入学考试，结果被命名为孙山。自然是因为“一个领域的知识太多，而另一个领域的知识太少”。他不得不在路易斯学校再学习一年。幸运的是，他进入了理查德的数学班。理查德发现这个学生的数学天赋远远优于其他学生，于是给他一等奖学金。老师保留了他所有的课堂笔记，就像他的母亲和姐姐保留了他所有的少年时代的画一样，他们都承认伽罗瓦是个天才。

巧合的是。当阿贝尔十三岁离开家乡，进入挪威奥斯陆(当时叫克里斯蒂安尼亚)的一所教会学校时，他也遭受了一些挫折。但不久之后，他遇到了一位名叫霍尔姆波的数学老师。霍尔姆波非常崇拜阿贝尔，成为阿贝尔的第一位老师，也是第一位伯乐。霍尔姆博教饥饿的阿贝尔学习高等数学，并鼓励他阅读瑞士数学家欧拉、德国数学家高斯、法国数学家拉格朗日和泊松的著作。

1821年，19岁的阿贝尔有幸进入挪威第一所大学——皇家弗雷德里克大学(后更名为奥斯陆大学)。好在有三位教授愿意帮助阿贝尔，他聪明好学，家境贫寒。其中一个允许亚伯随意进出他的家。另一位教授赞助了他第一次从挪威到哥本哈根的旅行。五年后，阿贝尔获得了挪威政府的旅行奖学金，途经柏林前往巴黎。三次和四次方程

说到解五次方程的意义，要从古希腊说起。在古希腊，几何是数学的同义词。柏拉图学园的入口写着“不懂几何者不得入内”。数学和毕达哥拉斯定义的词根一样，是指一切可以学习的知识，更多的是一种哲学意义。原因是几何可以通过图像进行推理和表达，但不需要文字和符号，因此更容易自由发展，这也是欧几里德几何最早诞生的原因。

对于第一个和第二个方程，因为比较简单，没有一个方便的符号系统，古代文明包括“四大文明”都可以自己找到解，甚至知道根给出的表达方法。但有的族群只取正解，有的族群(二次方程)只取一次解或实数解。说到一般的代数方程及其解法，首先要提到丢番图，他是古希腊最后一位数学大师，生活在公元三世纪的亚历山大。

范图最重要的著作是《算术》，是划时代的数学巨著。有十三卷，但是很长一段时间，只看到了六卷希腊文。直到1973年，四卷阿拉伯语译本才在伊朗马什哈德被发现。这十卷有二百九十个数学问题，大部分是数论问题，其中希腊文第二卷第八题是关于毕达哥拉斯数组的。17世纪《算术》拉丁文译本出版后，引起了法国数学家费马的兴趣，演变成著名的费马大定理。除了数论，算术还涉及一些代数问题和思想。但与之前的代数题不同，它并没有披上几何的外衣，而是还原了代数本身的样子。对于线性方程组，丢番图使用了“移动项”、“合并相似项”等技巧，这与我们现在的解题思路是一致的。对于二次方程，虽然丢番图已经知道了负数的算法，但他只满足于求正有理数的解，如果有两个正根，他只取较大的一个。

更有价值的是，丢番图系统地提出了代数符号的概念。例如，他用希腊字母的前几个alpha、beta和gamma来代表数字1、2和3，而用其他字母来代表未知数字的不同次方。他用速记来表达高阶方程，可以称之为速记代数。16世纪以前，在欧洲，唯一使用一套符号使书写更加方便简洁的是丢番图。可以说，丢番图把代数从几何形式中解放出来，成为数学的一个重要分支。

值得一提的是，中国古代，尤其是宋元时期，在数学方面取得了辉煌的成就。南宋时，秦发明了用迭代法求高次方程近似解(正根)的“正反方”，被现代人称为秦算法。到了元代，叶莉发明了“天元术”，用特定的汉字来表示未知数，打破了以九章算术为代表的“语音代数”。后来，朱世杰发明了“四元素法”，并推广到四个未知数的情况。他们的工作可以称为“半符号代数”。

在印度，七世纪的数学家婆罗摩笈多首先得到了0的运算法则，他给出了二次方程的求根公式，允许系数可正可负，他还用数上方加点的方式来表示负数，用不同的颜色首字母表示不同的未知数，效果与字母表达的方程十分接近。到了十二世纪，婆什伽罗给出的二次方程求根公式与现代的如出一辙，他还讨论了个别的三次方程和双二次方程。

《数学传奇》蔡天新著商务印书馆2018 年版在印度，7世纪的数学家布拉马普特拉首先得到了0的算法。他给出了二次方程的根公式，允许系数为正或负。他还用在数上面加点的方式来表示负数，用不同颜色的首字母来表示不同的未知数。效果非常接近用字母表示的方程。12世纪波什加洛给出的二次方程求根公式和现代的一模一样，他还讨论了个别三次方程和双二次方程。《数学传奇》蔡天心著，商务印书馆，2018年版

阿拉伯数学家华拉米生活在九世纪，他对二次方程进行了全面系统的论述。更重要的是，他的《代数》一书在1140年被翻译成拉丁文出版后，在欧洲被作为标准教科书使用了几个世纪。代数就是以这本书命名的，他自己的名字就变成了“算法”。华拉子密和丢番图一样，享有“代数之父”的美誉。

16世纪，在亚平宁半岛，三次方程和四次方程的求解即将取得里程碑式的进展。在此之前的1494年，也就是哥伦布到达美洲两年后，他的意大利数学家同行帕乔利在一本百科全书式的数学巨著的结尾，以悲观的口吻写道，“直到现在都不可能形成三次和四次方程的普遍规律”。他还认定，这无疑和古希腊遗留下来的把圆变成正方形的问题一样难。

或许，只是为了挑战帕乔利的悲观论调，他的数学家同行们纷纷取得突破性进展。首先，欧洲最老的博洛尼亚大学数学教授Fero解出了三次方程x3+mx2=n(系数为正)。那么，自学tartaglia(意为口吃者，因弯刀入侵法国士兵所致)不仅能解出上述三次方程，还能解出方程x3+mx2 = n(系数为正)。

1555年，斐洛死后9年，他的徒弟斐洛与塔尔塔利亚举行了一次公开的数学竞赛。这是那个时代数学家的传统。他们互相问了相同数量的问题(方程式)，并在规定时间内交了出来。结果当然是塔尔塔利亚大获全胜。趁着这股东风，塔尔塔利亚后来彻底解决了解三次方程的问题，也就是像解二次方程一样，用根公式来表示。

这场比赛吸引了米兰医生卡尔达诺的注意。他是一位医术高超的名医，却沉迷于赌博。他的家庭也遭遇不幸。妻子早逝，大儿子杀妻被绞死，小儿子偷进牢房。数学是卡尔达诺最大的安慰，他写了一本关于概率的书，迷上了解方程问题。卡尔达诺·塔尔塔利亚被邀请到米兰，在三天的好酒好肉之后，后者以诗歌的形式向他透露了解三次方程的秘密，条件是不能说出去。

古希腊的毕达哥拉斯定理也是用诗歌的语言叙述的。塔尔塔利亚的解是费罗已经掌握的三次方程。经过研究，卡尔达诺解出了其他形式的三次方程。卡尔达诺由他的助手法拉利协助。法拉利很聪明，然后他算出了四次方程的解，就是可以把一般的四次方程化为三次方程，从而给出了根的一般解。

1545年，卡尔达诺在博洛尼亚拜访了费罗的学生兼女婿纳夫。他在费罗的手稿中看到塔尔塔利亚向他透露的解法后，于当年出版了《大树》一书，将三次方程和四次方程的解法公之于众，包括费罗、塔尔塔利亚和费拉里的工作。这本书在欧洲数学界引起了轰动，卡尔达诺也成为了著名人物。虽然书中提到了塔尔塔利亚的贡献，但后者还是对卡尔达诺的背信弃义非常恼火。

塔尔塔利亚不仅公开指责卡尔达诺，还要求与他直接较量，就像是为了名誉或爱情的决斗。痛失爱妻的卡尔达诺沉默不语，起身面对年轻的法拉利。结果在米兰客场作战的塔尔塔利亚，因为四次解不出方程，在判决结果出来之前就离开了。后来，他不开心了，后悔了。声名大噪、成为博洛尼亚大学教授的法拉利也是喜极而泣。据说他最后被贪婪的姐姐用砒霜毒死了。阿贝尔定理

解完三次和四次方程后，五次方程自然呈现在所有数学家面前。从1545年卡尔达诺出版《大书》到去阿贝尔上大学，已经过去了将近三个世纪。这个棘手的问题依然存在。在此期间，法国人韦达在1591年就已经研究了二次方程的根与系数关系的维耶塔定理，这个定理后来被荷兰数学家吉拉德推广到N次一般方程的情况。

不仅如此，维达还象征着代数问题。他用辅音字母代表已知数字，用元音字母代表未知数字。遗憾的是，这种方法不容易区分已知数和未知数。后来，吠陀的同胞笛卡尔提出第一个字母A，B，C等。应该用来表示已知的数字，以及最后的字母X、Y、Z等。应该用来表示未知的数字。这种表达方式一目了然，并逐渐在世界各地推广，沿用至今。

代数的理论问题要等到18世纪末，由德国数学王子高斯来完成。1799年，22岁的高斯在博士论文中首次严格证明了任何实系数n次方程至少有一个复根。不难推导出n次方程有n个复根。1849年，在庆祝获得博士学位50周年之际，高斯给出了上述定理的第四个证明。他证明了任何N次复系数方程至少有一个复根。这个定理被称为代数基本定理。

现在，我们来谈谈亚伯的作品。在中学的最后一年，他雄心勃勃地试图解决一般五次方程的根问题。他很快就找到了求解公式，而他的老师霍尔姆博看不出证明中的破绽。所以，这篇文章被送给了一位丹麦数学家。数学家也没看出问题，小心翼翼的建议他再举个例子。经过仔细考虑，阿贝尔终于发现论点本身存在漏洞。

其实拉格朗日在解五次方程的时候也跌跌撞撞。后来他意识到，用类似于三次方程和四次方程的方法推导五次方程的解是不可能的。比拉格朗日晚一代的意大利数学家鲁菲尼也在这个问题上做了一些努力。他写了一篇500多页的论文，证明了一般的五次方程不能用一个公式求解。但他的证明冗长且有缺陷，未被人们所接受，鲜为人知。

上大学后，阿贝尔也开始反方向工作。终于在1824年，他成功证明了五次或五次以上的方程不存在一般根解。然而，没有人能证实他的证明。第二年，在教授们的帮助下，他获得了挪威政府的旅行奖学金，准备去拜访一些西欧国家的著名数学家。然而，阿贝尔只在柏林遇到了业余数学爱好者兼出版商克莱尔。他是继霍尔姆博之后第二个对他的事业有很大帮助的人。

克莱尔和霍尔姆博都认为亚伯是一位伟大的数学家。克莱尔在1826年创办了一本名为《纯数学和应用数学杂志》的杂志。第一卷发表了阿贝尔的七篇论文，包括《四次以上方程的不可解证明》。在前三卷中，阿贝尔连续发表了二十二篇论文，涉及范围很广，包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等等。然而，这份当今德国最重要的数学杂志在当时毫无影响力。

在巴黎，那时和现在一样，大多数人每年夏天都去海边避暑。阿贝尔致力于数学问题，完成了一篇关于超越函数的论文，提交给法国数学界的元老勒让德和权威柯西审阅，但无人理睬。椭圆是复分析理论中一个非常重要的双周期亚纯函数，它最早是由Abel定义的，他认为它是椭圆积分的反函数。如今，椭圆函数在数论和物理中有着广泛的应用，并且与椭圆曲线和模形式也有着很深的联系。

后来，比阿贝尔小两岁的德国数学家雅可比称赞阿贝尔的论文“也许是本世纪最伟大的数学发现”。多年后，年轻一代的法国数学家埃尔米特仍然称赞“这篇论文留下的东西足够数学家们忙活500年”。1830年，为了弥补过去的错误，法国科学院同时授予阿贝尔和雅可比数学奖。不幸的是，亚伯在前一年因病去世。

再来说说那篇给了阿贝尔信心和旅行奖学金的关于四次以上方程不可解性的论文。在他出发去旅行之前，他在奥斯陆印了许多份。然而，为了省钱，阿贝尔把论文压缩到只有6页。因此，对于大多数人来说，即使是他们的数学同龄人也几乎和密码一样晦涩难懂。结果，阿贝尔原本希望成为“名片”或敲门砖的论文，没有任何作用。

高斯自然在哥廷根收到了一份，但他恐怕不会相信，这么一个世界性的难题，被一个来自偏远地区的不知名的年轻人用这么多页纸解决了。高斯没有把它扔进废纸篓，而是把它夹在一堆纸或者两本书中间。高斯死后，有人在整理他的遗物时，发现装着阿贝尔论文的信封没有被切开。在这个不幸的事件中，不仅阿贝尔，整个数学学科都遭受了损失。

Abel证明了高于四次的方程不存在一般根解。关键是他纠正了鲁菲尼证明中的一个瑕疵，尽管他并不知道后者的工作。阿贝尔证明了现在所谓的阿贝尔定理:如果一个方程可以用根来求解，那么在根的表达式中出现的每一个根都可以表示为方程的根和一些单位根的有理函数。利用这个定理，阿贝尔证明了五次或五次以上的方程不存在一般根解。

另一方面，Abel并没有否认某些特殊的高阶方程存在根式解的可能性。其实早在1801年，高斯在《算术研究》中就已经证明了分圆方程xp-1=0(p是素数)是可以从根本上求解的。阿贝尔还考虑了一类特殊的可以用根来求解的方程，现在这类方程叫做阿贝尔方程。特别是他引入了两个非常重要的概念——“定义域”和“不可约多项式”。可惜因为他的早逝，没有完全解决解方程的问题，这个工作只好留给伽罗瓦。

1827年，阿贝尔依依不舍地回到了祖国。从那以后，他的生活变得更加艰难。他没有固定的工作和收入，所以他不得不通过私人授课来谋生。次年，他在一所大学找到了代课老师的职位，但没过多久，他的身体就垮了，他得了肺结核(据说是在巴黎染上的)，这在当时是不治之症(黎曼也患了同样的病)。1829年4月6日，不满27岁的阿贝尔走完了他短暂的一生。

令人欣慰的是，阿贝尔生前体验过爱的滋味。一八二三年，即阿贝尔证明高于四次的方程不可解的头一个夏天，他在一位教授的资助下，去哥本哈根过暑假，在那里见到了几位著名数学家。在哥本哈根，他遇见了同胞克里斯汀，那是在她叔叔家的舞会上。当乐队演奏起华尔兹时，两人尴尬地站在那里，他们对这一新舞曲不甚了解，于是一起悄悄地离开。

阿贝尔的未婚妻克里斯汀·坎普值得庆幸的是，亚伯死前体验过爱情的滋味。1823年，也就是阿贝尔证明高于四次的方程无法求解的第一个夏天，他在一位教授的支持下去哥本哈根过暑假，在那里他遇到了几位著名的数学家。在哥本哈根，他遇到了他的同胞克里斯汀，那是在她叔叔的派对上。当乐队演奏华尔兹时，他们尴尬地站在那里。他们对新舞曲了解不多，就一起悄悄离开了。亚伯的未婚妻克里斯汀·坎普

第二年圣诞节后，亚伯向同学和老师宣布了他的订婚。但亚伯连自己都养活不了，更别说娶克里斯汀了。1828年圣诞节，他乘雪橇回去看望未婚妻，途中病情加重。虽然他们一起享受了短暂的假期，但他最终没有活过那个春天。

亚伯死后仅仅三天，克莱尔的一封信就到了挪威。原来克莱尔一直在柏林为阿贝尔找工作，最后成功地为他争取到了柏林大学的教授职位。然而，好消息来得太晚了。此外，法国科学院的四位院士也联名写信给瑞典-挪威国王，希望他重视阿贝尔这位天才。除了证明高于四次的方程没有根解，阿贝尔也是椭圆函数理论的创始人之一。他为无穷级数理论奠定了严格的基础，解决了第一个积分方程。伽罗瓦理论

1827年春天，就在阿贝尔去世前五天，当时还是中学生的伽罗瓦发表了他的第一篇论文。那是一篇关于连分数的论文，但他并不满意。和阿贝尔一样，伽罗瓦最初的目标是五次和五次方程的可解性。他专注于寻找这些方程的一般根解，以便一鸣惊人。然而后来，他也改变了目标。

为了研究方程的可解性，伽罗瓦发明了“群”的概念，随后他建立了一个新的数学分支。现在人们把这种方法叫做伽罗瓦理论。所谓群，是由一些元素组成的，这些元素称为G(群)。这些元素之间有一个运算×满足四个性质:接近，A和B都属于G，那么a×b也属于G；结合律，A，B，C都属于G，那么(A×B)×C = A×(B×C)；存在单位元1属于G，即任一A属于G，满足1×A = A×1 = A；对于任何一个属于G的A，都有一个逆元B，a×b=b×a=1。

正如高斯所证明的，每一个n次复系数方程都有n个复根。根据排列组合原理，n根有n个阶乘(n！)置换，在乘法意义上构成置换群Sn。例如，由三次方程的三个根x1、x2和x3组成的置换群S3有六个元素，如果用下标表示，则为(1)、(12)、(13)、(23)、(123)和(132)，其中(1)表示全同置换，(12)表示x1和x2的互换性。

根据拉格朗日定理，对于有限群，子群的阶(元素个数)必须能被群的阶整除，两者相除得到的整数称为指数。伽罗瓦定义了正规子群，正规子群是具有良好性质的子群。例如由(1)(123)(132)组成的子群H是正规子群，阶最高的正规子群称为最大正规子群。对于判断方程的可解性，Galois理论的精妙之处在于n次方程的根可解当且仅当其置换群Sn的最大正规子群列之间的指数为素数。

比如S3的最大正规子群级数是S3，H，单位群，它的指数6/3=2，3/1=3都是素数，所以求根公式可以求解。对于S4，它有24个元素，最大正规子群G4有12个元素，G4的最大正规子群G3有4个元素，G3的最大正规子群G2有2个元素。最大正规子群系列的指数是24/12=2，12/4=3，4/2=2，2/1=2，都是素数。

当n>4时，Sn的最大正规子群An有n！/2个元素，而An的正规子群只有单位子群，所以其最大正规子群系列的索引是2和n！/2，后者在n>4时不是素数。根据伽罗瓦理论，该方程没有一般的根解。多么精彩简洁的判断和证明！这是十八岁的伽罗瓦的独立发现。它先是被理查德带到了柯西，然后以《一个方程通过开方求解的条件》为题提交给了法国科学院，并参加了当年的数学大奖赛。

不幸的是，法国数学的领军人物柯西对伽罗瓦的论文置之不理(此时勒让德已经老态龙钟)，科学院书记傅立叶突然去世，伽罗瓦的论文丢失。如前所述，最后的奖项授予了德国数学家雅各比和阿贝尔，后者已经去世。说起柯西，他是历史上最多产的数学家之一。以他命名的定理遍布高等数学课程，傅立叶发明的三角级数理论是应用数学最有力的工具之一。

而谈到伽罗瓦理论，则是更一般的理论形式，依赖于阿贝尔首先提出的“域”概念。字段是至少包含两个元素的数字集合。其对应的加减乘除(除数不为0)闭，标记为F(字段)。正如组有子组一样，数字字段也有子组。如果k是f的子域，那么f就是k的延拓，显然有理数、实数、复数都是域。有理数域是最小的域，实数域和复数域都是它的扩展。此外，a+b(a和B是有理数)形式的总体也是一个定义域。

伽罗瓦定义了“方程组”(伽罗瓦群)，它是由一些保持根的代数关系不变的置换组成的子群，即具有对称性。伽罗瓦证明了对于任意n，总能找到一些方程，其伽罗瓦群是整个Sn。伽罗瓦域扩张的基本定理是方程的系数域和根域之间的所有域与伽罗瓦群的所有子群之间存在一一对应关系。这是伽罗瓦理论的核心，它帮助我们通过研究简单置换群来解决复杂域问题。

伽罗瓦最倒霉的经历远非未能报考综合理工学校，错过两次被认可的机会。十八岁时，他又报考了综合理工学校。结果“一个智商较高的考生在一个智商较低的考官面前失败了”。从此，大学对他永远关上了大门，因为每个考生只允许报考两次。据说他得到了一道试题的正确答案，但被判错了。离开考场前，愤怒的伽罗瓦将黑板擦扔在考官脸上。

最沉重的打击是父亲的惨死，发生在他第二次申请综合理工的前夕。作为市长，老伽罗瓦支持市民反对牧师，成为牧师们恶意攻击的对象。一个诡计多端的年轻牧师利用了市长写诗的癖好，模仿他的语气写了一首下流的诗，并签上市长的名字在市民中分发。这让这位极其正派的市长感到羞愧。他一个人去了巴黎，在离他儿子学校不远的地方开了煤气，窒息而死。

进不了综合理工学校，伽罗瓦只得去投考师范预科学校，即如今赫赫有名的巴黎高等师范学校，当时它的声望并不高。尽管遇到麻烦，偏科严重的伽罗瓦还是被录取了。一八三○年，伽罗瓦发表了两篇方程论文和一篇数论论文，后者首次提出了有限域的概念。然而，革命的枪声响起，义无反顾参与其中的伽罗瓦不久被学校开除。第二年，他又两次作为政治犯被捕，最后一次判了六个月徒刑，关押在巴黎的圣佩拉杰监狱。