五家共井详细解法

汪德贵

《九章算术》是中国古代数学名著，是张苍和耿寿昌所著的数学专著。其内容非常丰富，总结了战国秦汉时期的数学成就。它是当时世界上最简洁有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学完整体系的形成。其中一个问题是“五院合租好”，原文如下:

总共有五口井，但缺少一口和两口，比如乙一。b不足，如C不足；c不够，比如丁一；丁五氏荒，如武夷氏荒；六笔之不足，如一笔之不足，符合一切要求。

这个问题的白话解释是:五家共用一口井，甲家两根井绳和乙家一根井绳的总长度为井深；B的三根井绳和C的一根井绳的总长度为井深；C的4根井绳和丁的1根井绳的总长度为井深；丁家5根井绳和吴家1根井绳的总长度为井深；E家的六根井绳和A家的一根井绳的总长度就是井深。问:井有多深，每口井有多少根绳子？(各家的井绳长度相等)

我们也来分析一下“五口共享井”的问题，分别用Python，Graphics，APPInventor来解决。第一，创意来源

在教学生学习Python四级课程时，可利用的练习和案例并不多。于是，在搜索案例的过程中，我看到了这个“五家同井”的问题。经过研究，我发现用Python四级知识点来解决比较合适。现在分享一下。二、设计思路

这是一个不定方程问题。遇到方程的时候，最初的想法是用枚举法。在100范围内跑了一圈，没有结果。说明最小正整数解必须大于100，于是范围扩大到300，结果运行很长时间不输出结果。似乎运算时间太长，等不到程序运行出结果。

于是我想到了库函数sympy，这是一个用于符号计算的Python库。我在《阿基米德牛问题解析及Python验证》一文中讲过，这里就不赘述了。

通过解方程得到关系式，进而得到最小正整数解。

在用Python求解的过程中，我想再次尝试用Scratch和APPInventor求解。通过编程和运行，三个代码对比后很有启发。下面我给大家分享一下求解过程。三。设计

(一)Python编程

1.枚举法

这是最直接的思维方式。如果不知道具体结果，就用枚举法测试(图1)。根据题意，分别设绳长A、B、C、D、E，井深2a+b，五个未知数满足方程2a+b=3b+c=4c+d=5d+e=6e+a，代入1到100试算。

由于运行时间较长，运行时间会被打印出来，此时显示的运行时间为222秒，数值为1到10(图2)。

2.时间复杂度

如果取值范围在100以内，时间复杂度就是10的10次方。根据跑步时间，跑10个A的将近4分钟，然后跑100个A的大约需要40分钟(图3)。

当A的值在300以内时，运行一个A需要将近30分钟，那300个A就是将近150个小时，需要6天以上(图4)。

这么长运行时间的程序完全不切实际，需要通过减少无效操作来优化程序。改变最短的绳子E作为枚举的主要参数。根据题目的分析，我们也可以提前知道每个未知数的大小关系。将D的初始试数由1改为E开头，其他未知数依此类推。根据网上搜索答案，已经知道E的最小正整数解小于100，B小于300。增加了一个新的变量bj=1进行判断，当得到答案时，立即跳出循环。等待一段时间得到答案(图5)。

跑10个E需要将近6分钟，随着E值的增加，单次操作时间会缩短。优化后运行时间大大缩短，仅25分钟左右，得到了一组结果(图6)。

我们根据已有的答案反推优化方案，最终得到结果。但如果不知道答案的范围，即使只尝试计算300以内，也要运行6个小时左右。枚举法面对这样一个不定方程，如果不知道结果的范围，那么运行时间会很长！我们必须找到一个更简单的算法。

3.方程求解的程序设计。

(1)利用sympy库函数，先求不定方程的关系(图7)。

运行结果如图8所示:

因为绳长是整数，E一定是76的倍数，所以可以求出最小正整数解:A: 265，B: 191，C: 148，D: 129，E:76；井深:721。

即第一口井绳长265，第二口井绳长191，第三口井绳长148，第四口井绳长129，第五口井绳长76，井深721。(2)临时编程

1.基本思想是枚举，使用条件循环。

2.过程描述

需要注意的是，几个条件应该是“和”，四个条件的截图不完整。如果条件满足，比如说5秒钟(图9)。

程序是五个循环，每个循环300次。a在最外层，运行一次相当于四个循环300次，即300× 300× 300次，耗时近24小时。如果A运行300次，总持续时间大约需要300天(图10)！

3.最佳化

需要优化程序，缩小取值范围。优化原则与图5中的代码一致。最外面的循环改为最小的E，最里面的循环改为A(图11)。

运行6个E大约需要3.5小时，但E越大，单次运行时间会越短，总运行时间会大大缩短(图12)。

但毕竟时间复杂度太大，Scratch效率太低，总时长还是太长。即使优化器测试了结果，也需要两天左右的时间。(C) APPInventor程序设计

1.设计理念

Python测试的时候在电脑上运行速度很快，但是在手机上运行的时候更多的是依赖手机的配置，明显感觉很慢。

所以增加了直接验证的程序代码。

2.程序设计和描述

(1)变量和初始化

变量“枚举验证”是使用枚举方法或验证数据的转换开关。

变量“分解列表”是将验证时输入的数据进行分解，放入列表中供程序调用。

初始化程序。首先，初始化程序处于枚举状态，其次，提示您选择是先使用“枚举”还是“验证”(图13)。

(2)枚举

点击“枚举”按钮，输入相关数据。因为水平布局4不需要验证，并且被程序隐藏，所以在使用“枚举”时必须显示(图14)。

(3)验证

单击“验证”以验证数据是否正确。只需要连续的数据输入来验证数据，因此水平布局4被隐藏。并使用标签1的文本作为输入提示(图15)。

(4)提交

提交时先看是验证状态还是枚举状态。然后判断输入框是否为空，如果不是，则执行程序(图16)。

身份验证状态:

首先将输入框中的数据分解成一个列表，然后判断五组数据是否满足条件(图17)。

如果是，将显示五个相应的数据，并提示:验证正确；否则，提示:验证错误(图18)。

这个跑得很快。

枚举状态:

根据提示，首先输入取值范围、初始值和结束值，然后点击提交。APP的枚举界面如图19所示。

在75 ~ 80的范围内，速度很快，但是在75 ~ 300的范围内，手机一直运行没有反馈，就像死机了一样。虽然我知道程序还在后台运行，但是这个运行时间肯定会很长，没必要坚持。确定满足条件的五个值，代码如图20所示。

程序被优化。A的值是从B的开始值到结束值，而B的值是从C到结束值，以此类推。d是从E到结束值，E是从开始值到结束值。这样运行时间会大大减少，但是由于运行速度和时间直接关系到手机的配置，所以虽然计算量大大减少了，但是还是很难等到一个结果(图21)。

如果满足条件，则显示五栋房屋的绳长和井深；否则会提示起始值到结束值范围内无解。四。测试和改进

三种方法中，经过测试Python最快，APPInventor最慢(使用优化器时仍然没有结果输出)，但APPInventor更直观。有兴趣的可以自己验证一下。本文就不赘述了。这也是我自己的学习心得。如果有任何问题，请随时给我您的意见！