数学，教给学生最本质的东西

王梦倩

著名数学家陈省身曾经说过:“我们欣赏数学，我们需要数学。”

在新的历史阶段，学校数学教育逐渐转向对学生数学核心素养的培养，更加注重对学生数学能力、数学思维和数学思考的培养。然而，面对基础数学教育只有分数论的现状，如何让学生欣赏数学之美，实现数学对个人和社会的意义？如何让学生用数学的眼光认识世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界？一线数学教师肩负着挑战和希望。

数学之美与数学之理

于丹是大连经济技术开发区第八高级中学的数学老师。她在东北师范大学数学系4年，从事数学教学20年。对她来说，数学之美是丰富多彩的，变化多端的，在她生活的点点滴滴中展露无遗。从小时候背古诗，她在字里行间体会到了属于数学的韵律之美。比如大家熟知的《山村》:“一去二三里，有四五个烟村。亭台六七座，花八九十朵。”再比如《水边看花》，里面唱道:“一个缘分，两颗心三条命，四年分离；五更天，六调七弦，八不眠之夜；九连环，十里皆望穿，百年寒心；千思万想，皆无奈，醉寒。”最精彩的是明代诗人伦为苏轼的画作《百鸟归巢》所写的诗:“一个接一个，三、四、五、六、七、八。凤凰里的鸟太多了，啄尽天下的石头。”“‘一个接一个加起来是二，‘三四次得十二’，五六次得三十，‘七八次得五十六’。把2，12，30，56加起来，总数正好是100，和图名很协调。而2，12，30，56是一个二阶等差数列，说明诗人的数学功底充分体现了数学之美。”于丹不禁感慨。

一个好的数学老师应该热爱数学，欣赏数学，这样被老师的激情感染的学生才有可能被激发出兴趣和情感，从而体会到数学的独特魅力。于丹谈到了数学之美。“数学的美体现在其空之间优美的曲线和图形，如正弦、余弦函数图像，既有轴对称性，又有中心对称性和周期性；数学的美在于公式、符号和严谨的论证，从方法到理论都是美的。杨辉的三角形形式之美，数列规律之美，微积分的无穷之美，数学家笛卡尔与瑞典公主克莉丝汀爱情传说中著名方程所代表的‘心线’；同时，数学的美还体现在它是其他学科的基础，就像马克思说的那样——一门科学只有成功地应用了数学，才能真正完美。”

让学生学会欣赏数学。除了展示数学美，老师还要让学生知道数学的原理。而理性往往需要用生活的语言来解释。在课堂的绪论部分，于丹习惯于设置一些生活中的情境，让抽象的数学知识变得通俗易懂。比如在讲概率的时候，她会设置一个情境，让学生通过抽签决定谁先回答问题，让学生积极参与，提出“先抓的概率和后抓的概率一样吗”；在讲圆锥曲线的时候，她让学生看卫星运行的视频，观察卫星轨道的形状。在讲排列组合时，她拿出一张只有五个邻省的地图和一支四种颜色的笔，让学生思考“如果邻省不能画出同样的颜色，有多少种画法？”“当学生的兴趣被激发后，教师要和学生一起探索数学知识的发生和发展过程，教给学生数学知识最本质的东西，让学生知道为什么，从而培养学生的数学思维，进而理解数学的原理。”

数学的无用和有用

在PISA(国际学生评估项目)数学能力测试中，学生运用数学推理解决问题的能力是最重要的。对他的数学素养的准确描述是:“一个具有数学素养的人，能够认识和理解数学在现实世界中的作用，能够运用数学做出明智的判断和决策，是一个具有建设性、参与意识和反思能力的公民。”现实中，很多学生觉得除了考试，学数学好像没什么用。诸如“去菜市场一定要用函数才能得到价格吗”这样的评论，反映了大众对数学长久以来的刻板印象。在于丹看来，这种理解是极其狭隘的。

数学作为一门基础科学，是许多学科的基础，是认识和研究世界的主要途径。“数学在现实生活中的作用涉及方方面面，各行各业，无论是对个人还是对社会都具有重要意义。”于丹经常向学生强调，学习数学的目的是为了在实际生活中更好地应用它，因为所有的数学问题都来自生活。日常生活需要计数；数学的统筹可以使人合理安排时间，节约成本；贷款、股票、彩票、无处不在的问卷，运用数理统计概率知识；计算机、金融、建筑设计、卫星轨道设计都是以数学知识为基础的。

今年疫情期间，大连市对全体员工进行核酸检测，于丹带领学生做志愿者。同学们发现工作人员把5个人的样本放在一起检测，很疑惑。于丹告诉学生们，五个样本一起测试是最快最划算的，这是用统计概率知识计算出来的结果。“当5个样本的检测结果都是阴性时，那么5个人都是阴性；如果5人样本检测结果为阳性，将5人分成两部分，一部分是2人，另一部分是3人，然后继续检测...因为患者人数是一个随机变量，所以我们计算6人、7人、8人等一组需要测试的平均次数。通过数学方法，最后得到5人组测试法使用的期望次数是最小的。”在生活中应用知识，在课堂上联系生活，是于丹的教学习惯，也是她试图传递给学生的一个学习方向。

“我们需要数学，不仅仅是因为它在现实世界中的作用，还因为数学学习所培养的数学思维会影响到个人对很多问题的思考和判断，这种影响是深刻而长远的。”于丹总结道。

数学思想是数学的灵魂。

从事数学教学20年，于丹遇到过许多被数学困扰的学生。他们想尽办法刷题，却始终没看懂。随着作业帮、小猿搜题等app成为学生的必备工具，学生刷题的效率越来越高，却依然无法再次遇到同类型的题。“因为他们很少思考为什么，思考的问题和提出的问题之间没有联系。有些孩子在家做作业的时候会搜索答案，即使还没看完题。”

于丹认为，这些孩子是靠直觉和记忆学习的，即使他们背下了数学知识，他们仍然无法建立数学思维方法。数学思维方法是数学知识的精华，是对数学本质的理解，是培养数学核心素质的最重要的途径。中学数学教学大纲明确指出，数学基础知识是指数学中的概念、性质、规律、公式、公理、定理及其内容所反映的数学思想方法。

“在高中数学教学中，我们在课堂上向学生传授数学知识的同时，也要在教学中渗透数学思想。但目前重知识轻思维、重方法的现象普遍存在。”于丹强调，数学思维方法对提高学生思维能力、培养学生应用意识具有重要作用。