数学思考,问题解决,情感态度

魏林

影响数学问题解决的认知因素

问题解决是一种认知活动，它包括一系列认知因素，如记忆、意识、元认知、认知策略等。这些认知因素在理论上与数学情感密切相关。因此，问题解决中的数学情感研究也可以看作是基于认知理论的情感研究。

记忆和情感表征。记忆表征过程在问题解决中起着重要的作用。然而，长期以来，数学教育界关注的话题主要集中在表征的类型(如代数表征和几何表征)和解题策略(如枚举、绘图等)上。)，而较少关注情绪对储存和提取过程的影响。但是，这两个概念在解决数学问题的过程中是非常重要的。比如长时记忆的提取能否将新问题与已有知识联系起来就体现在解题中，信息提取的失败是解题成功的一大绊脚石。情绪在储存和提取过程中是否起作用，还有待进一步论证。

意识在解决问题中的作用。研究者对意识的关注源于行为主义对信息加工理论的发展。心理学家曼德勒指出，意识概念的出现实际上是基于对人类信息处理重要性的关注。如果没有意识的存在，人类处理信息和提取长期记忆的能力将十分有限。学者Rigney提出，人的意识应该是问题解决中情感因素的重要组成部分。主要是因为有意识和无意识的心理过程有明显的区别。将有意识的有限能力与无意识的工作记忆进行比较后发现，有意识过程比无意识过程慢。也有学者研究表明，在问题解决过程中，至少在信息提取过程中，意识对短时记忆有明显的作用。因此，进一步研究意识在问题解决中的作用可能会指向意识和无意识的平行结构。

元认知在问题解决中的作用。学者Scheefeld认为元认知对问题解决很有帮助，因为它可以帮助问题解决者决定采用哪种策略，尝试这种策略多长时间，以及停止和替换另一种认知策略的时间。如果我们帮助问题解决者反思他们的认知过程，我们将把他们的情绪反应应用到问题解决中。密切关注学生的情绪影响可以使他们对认知过程有更强的控制力。

自动解决问题的功能。工作记忆或意识本身的局限性决定了解题中频繁出现的心理过程自动化现象。这时，个体的意识和元认知将不再参与问题的解决。有时自动化的过程与解题者的方向背道而驰，因此消除不良的自动反应，创造积极的自动反应，一度成为数学课程领域的热点。有些数学课程是专门培养学生自动反应的，让学生自动进入数学问题的思考。

解题策略与数学情感。在数学解题教学中，最经典的方法是泡利亚提出的启发式教学法，包括图表法、逆向演绎法等多种方法。曾经，这些方法的应用和研究只集中在认知领域，几乎没有学者关注情绪的影响。后期只有少数学者提到解题策略可能会引起学生的情绪变化。例如，当一个复杂的问题被简化时，学生们会更有信心解决剩下的问题。在这个过程中，一步一步实现的信心和最终解决问题的信心没有区别。在数学教育中，我们应该在什么时候，如何处理学生的解题结果，既保护学生继续解题的信心，又能及时纠正认知错误？这是一个值得进一步探讨的问题。

问题解决中数学情感的理论模型

数学问题解决本来是认知领域的一项活动，但近年来出现了将研究与数学情感相结合的趋势。学者Kalldin构建了一个将情绪表征系统和认知表征系统相结合的数学解题模型。在这个模型中，学生的数学情感是处于一种狭义的情感状态，而不是广义的特质态度。这种狭窄、瞬间、多变的情绪状态，更容易让研究者捕捉到学生在解题过程中的感受，看到他们对有用信息的储存和提取、操作监控、刺激启发式过程等细节。因此，本研究遵循两个约定:第一，当情绪作为表征功能时，具有持续刺激情绪路径的可能性，能够建构个体狭隘的情绪状态与个体认知的互动关系；第二，稳定的情绪结构过于复杂，可以将其分解为部分路径进行分析，即利用狭窄的情绪表征路径来表现解决数学问题时情绪与认知的关系。这个定义下的情绪结构可以用来标记和表征认知信息。因此，情绪表征系统应该包括以下几个方面:一是状态或感觉的内部结构；第二，能够影响其他表征系统的情绪表征路径；第三，基于认知事件的情绪转化路径。

卡尔丁构建的模型分两条路径来看待解题中体验到的数学情感。结合解题过程中的情绪状态和启发式结构，从结构的有效性和反有效性两个方面分析数学情绪路径。

数学问题解决模式对实践教学的启示

在卡尔丁构建的模型中，实线代表个体问题解决者改变可能经常出现的狭义情绪的路径；虚线代表问题解决过程中个体的情绪状态可能影响启发式策略的路径。在这个理想化的模型中，问题解决者的情绪状态都源于好奇心。对于学生来说，如果问题太深，他们会感到困惑，这意味着他们觉得自己无法这么快解决最初好奇的难题。困惑暂时不会给解决问题的个体带来负面情绪，但当困惑持续存在时，个体就会感到困惑。感觉学生解决这个问题就像大海捞针一样，脑子一片空白，迷茫。很多同学在这里停滞不前，很难继续下去。他们需要老师的干预、帮助和指导来度过难关。在老师的引导和鼓励下，学生可以慢慢解决谜题，难题开始分解成困难，学生之前的迷茫慢慢转化为积极的喜悦。如果老师提示学生认识到一些节点，可能会给他们带来很大的快乐。最终让他们感受到解题的成功和满足，为进一步解决其他数学问题奠定良性的心理基础。

但是，在迷茫阶段，有些学生可能会选择(或者老师替学生选择)自己继续往下走多一点。在行走的过程中，他们可能会觉得不断积累的负面情绪越来越强烈，不断的停滞让他们感到压抑。这个时候，解题者似乎走进了死胡同。下一步可能会有新的思路或方法，让问题解决者重新回到正能量主导的情绪状态。也可能纠结于问题解决不了的挫败感，最终导致情绪焦虑。这时候如果伴随着外界影响的作用，比如这次解题失败，学生就会受到老师的批评或者数学考试成绩很低。他们会将这种外界刺激内化为自己的情绪状态，最终产生恐惧和害怕，甚至整体上厌恶数学这门学科及其相关学科。

对于教育工作者来说，最大的挑战是如何消除学生的负面情绪，如何重建和平衡认知和情感需求。无论如何，认知目标应该建立在学生能够接受和操纵的情感目标之上，数学情感应该是数学教育的基本保证因素。